Αρχείο

Τα Μαθηματικά υδρεύουν τη Σάμο

Πηγή: https://youtu.be/AJTwxCaOODM

Advertisements

Eίσαι πιο έξυπνος από έναν εξωγήινο;Διαδραστικό εκπαιδευτικό παιχνίδι για την προπαίδεια!

Διάλεξε ερώτηση και παίξε με ασκήσεις Μαθηματικών. Πάτησε τον παρακάτω σύνδεσμο.

Πηγή συνδέσμου:

http://e-didaskalia.blogspot.gr/2015/10/blog-post_184.html

Το μηδέν είναι πέντε αιώνες αρχαιότερο!

Η ραδιοχρονολόγηση ενός ινδικού χειρογράφου αλλάζει την ιστορία του μαθηματικού συμβόλου που στηρίζει την ψηφιακή εποχή μας

Το χειρόγραφο του Μπασκάλι χρονολογήθηκε ανάμεσα στο 224 και το 383 μ.Χ. κάνοντας το μηδέν κατά 500 χρόνια αρχαιότερο. Πηγή Bodleian Libraries, University of Oxford.

Οξφόρδη

Το μηδέν γίνεται 500 χρόνια αρχαιότερο – και για ορισμένους η ιστορία των μαθηματικών αλλάζει – χάρη σε ένα σανσκριτικό χειρόγραφο που βρίσκεται στη βιβλιοθήκη του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Μέχρι τώρα οι ειδικοί θεωρούσαν ότι το χειρόγραφο, στο οποίο υπάρχουν εκατοντάδες μηδενικά, είναι κατά πολύ μεταγενέστερο, όμως η ραδιοχρονολόγησή του έδειξε ότι ανάγεται στον 3ο ή 4ο αιώνα μ.Χ.. Ετσι αποτελεί την αρχαιότερη καταγραφή του συμβόλου του μηδενός που γνωρίζουμε ως σήμερα.

Αγνωστες ρίζες

Αν και σήμερα το σύμβολο «0» είναι για μας πανταχού παρόν, η ιστορία του δεν είναι και τόσο ξεκάθαρη. Παρά το γεγονός πως υπάρχουν ενδείξεις ότι χρησιμοποιήθηκε από τους Μάγια ή ακόμη και τους Βαβυλώνιους, δεν ξέρουμε πότε ακριβώς γεννήθηκε η έννοια του μηδενός.  Όπως επίσης δεν ξέρουμε πότε το μηδέν απέκτησε το μαθηματικό σύμβολό του. Η αρχαιότερη γνωστή καταγραφή του εθεωρείτο ως σήμερα ένα μηδενικό που χαράχθηκε τον 9ο αιώνα στον τοίχο ενός ναού στο Γκουαλιόρ της Ινδίας.

Το χειρόγραφο του Μπακσάλι, όπως λέγεται από το χωριό όπου ανακαλύφθηκε, στο σημερινό Πακιστάν, αλλάζει τώρα τα δεδομένα. Πρόκειται για ένα «βιβλίο» που αποτελείται από 70 φύλλα από φλοιό σημύδας στα οποία είναι γραμμένα στα σανσκριτικά μαθηματικά κείμενα και σύμβολα. Το μηδέν αναγράφεται εκατοντάδες φορές ως κουκίδα – αυτή η κουκίδα, η οποία στο αρχαίο ινδικό σύστημα χρησίμευε αρχικά για να δηλώσει τάξεις μεγέθους (π.χ. δεκάδες, εκατοντάδες ή χιλιάδες) εξελίχθηκε αργότερο στο στρογγυλό μηδενικό με το κενό στο κέντρο που γνωρίζουμε σήμερα.

Η πρώτη ραδιοχρονολόγηση

Με βάση τα στυλ της γραφής και το μαθηματικό περιεχόμενό του το χειρόγραφο του Μπακσάλι είχε εκτιμηθεί ότι συντάχθηκε ανάμεσα στον 6ο και τον 12ο αιώνα μ.Χ., και άρα εθεωρείτο μεταγενέστερο του μηδενικού του ναού της Γουαλιόρ. Η πρώτη ραδιοχρονολόγησή του, στην οποία προέβησαν ερευνητές των Bodleian Libraries του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, έδειξε ωστόσο ότι είναι κατά πολύ αρχαιότερο τοποθετώντας το ανάμεσα στο 224 και το 383 μ.Χ., πέντε αιώνες νωρίτερα από εκείνο του Γκουαλιόρ.

Αυτή η μετάθεση προς τα πίσω στο παρελθόν θεωρείται πολύ σημαντική, καθώς το μηδέν – ως έννοια και ως σύμβολο – αποτελεί ακρογωνιαίο λίθο των μαθηματικών. «Σήμερα θεωρούμε δεδομένο ότι η έννοια του μηδενός χρησιμοποιείται σε όλο τον πλανήτη και αποτελεί βασικό δομικό στοιχείο του ψηφιακού κόσμου μας» δήλωσε σε δελτίο Τύπου ο Μάρκους ντι Σότοϊ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. «Ωστόσο η δημιουργία του μηδενός ως μεμονωμένου αριθμού, ο οποίος εξελίχθηκε από το δηλωτικό της τάξης μεγέθους σύμβολο που βρίσκουμε στο χειρόγραφο του Μπακσάλι, υπήρξε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στην ιστορία των μαθηματικών».

Πηγή: http://www.tovima.gr/

Γιατί ο Φρίντριχ Γκάους ήταν ο «τέλειος» επιστήμονας – Ο μαθηματικός…

Είναι αδύνατο να κατατάξει κανείς τους σημαντικότερους μαθηματικούς, με βάση την συνεισφορά τους στην επιστήμη. Μια τέτοιου είδους σύγκριση θα ήταν ανούσια. Αν όμως είχε δημιουργηθεί μια λίστα με τους πιο αφοσιωμένους, τους περισσότερο διψασμένους για γνώση και ταγμένους στο αντικείμενο τους, τότε ο Φρίντριχ Γκάους θα βρισκόταν στην κορυφή της.

Τα πρώτα δείγματα μιας μοναδικής μαθηματικής ευστροφίας – Το άθροισμα των 100 πρώτων αριθμών

Γεννημένος λίγα χρόνια πριν το ξέσπασμα της Γαλλικής επανάστασης, ο Γερμανός μαθηματικός ήταν μέλος μιας εργατικής, φτωχής οικογενείας. Σε αντίθεση με τους περισσότερους συναδέρφους του, ο Γκάους δεν γνώρισε τα μαθηματικά μέσω κάποιου δεύτερου. Πριν μπει σε οποιαδήποτε τάξη , είχε ήδη δείξει το ιδιαίτερο ταλέντο του στην αριθμητική. Ο εντυπωσιακός τρόπος που χειριζόταν τα νούμερα ήταν το πρώτο δείγμα της τεράστιας μαθηματικής του ευστροφίας.

Η κλίση του στα μαθηματικά επιβεβαιώθηκε με τον πιο εντυπωσιακό τρόπο κατά την διάρκεια του δημοτικού. Οταν ο δάσκαλος του έβαλε τους μαθητές να προσθέσουν τους αριθμούς από το 1 ως το 100, περίμενε πως αυτή θα ήταν μια άσκηση που θα τους κρατούσε απασχολημένους για αρκετή ώρα. Ο Γκάους όμως είχε βρει τη σωστή απάντηση μέσα λίγα μόλις λεπτά. Αντί να προσθέσει όλα τα νούμερα με τη σειρά, διάλεγε κάθε φορά το πρώτο και το τελευταίο. Το άθροισμα 100+1 ήταν ίσο με το 99+2 και αυτό με τη σειρά του ίσο με το… 51+50. Μετέτρεψε το σύνολο των εκατό αριθμών σε 50 ζευγάρια με άθροισμα 101, για να βρει το τελικό αποτέλεσμα 5050. Το μέλλον του μικρού παιδιού από το Μπράουνσβαϊχ ήταν ξεκάθαρο.

Το πανεπιστήμιο και οι πρώτες αποδείξεις – Οταν ο Γκάους ανακάλυψε πόσο αγαπάει τα μαθηματικά

Οι όποιες αντιρρήσεις του πατέρα του, ο οποίος ήθελε ο γιος του να γίνει ένας καλός τεχνίτης, κάμφθηκαν όταν ο δούκας της περιοχής έδωσε υποτροφία στον Γκάους για σπουδές στο Πολυτεχνείο του Μπράουνσβαϊχ. Σε ηλικία 15 χρονών ο ταλαντούχος έφηβος μπήκε για πρώτη φορά σε πανεπιστημιακή αίθουσα και τρία χρόνια αργότερα είχε ήδη εξασφαλίσει το πτυχίο του. Οι γνώσεις που αποκόμισε όμως δεν του αρκούσαν και έτσι χωρίς να χρονοτριβεί μεταφέρθηκε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.

Εκει αντιλήφθηκε το πραγματικό πάθος του για τα μαθηματικά. Μέχρι τότε ο Γερμανός μαθηματικός έβλεπε την επιστήμη σαν… ένα ευχάριστο παιχνίδι. Στα τρία χρόνια που φοίτησε στο Γκέτινγκεν όμως, η αντίληψη του για το αντικείμενο του άλλαξε ριζικά. Οι πρώτες σημαντικές αποδείξεις δεν άργησαν να έρθουν. Το 1796 απέδειξε πως οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο με πρώτο αριθμό πλευρών, μπορούσε να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Ενα πρόβλημα που απασχολούσε ακόμα και τους μαθηματικούς της αρχαίας Ελλάδας. Η ικανοποίηση για την πρώτη του μεγάλη ανακάλυψη, τον ώθησε να αφοσιωθεί ακόμα περισσότερο στα μαθηματικά. Χαρακτηριστικό είναι πως λίγο μετά την ολοκλήρωση της απόδειξης, ζήτησε όταν πεθάνει να χαραχτεί ένα κανονικό 17-γωνο στο μνήμα του.

Ενας Γερμανός… πανεπιστήμονας – Οι ατελείωτοι κλάδοι που εργάστηκε ο Γκάους

Μπορεί η πρώτη του σημαντική απόδειξη να προερχόταν από τον κλάδο της γεωμετρίας, όμως αυτό σε καμία περίπτωση δεν σήμαινε πως ο Γκάους ήταν γεωμέτρης. Ο Γερμανός μαθηματικός ασχολήθηκε με τα μαθηματικά σαν επιστήμη και δεν περιορίστηκε σε συγκεκριμένους τομείς, όπως σχεδόν όλοι οι συνάδερφοι του. Κάθε ερώτημα που προέκυπτε, κάθε απορία που είχε, δεν υπήρχε περίπτωση να μην διατυπωνόταν σε χαρτί. Αμέσως μετά την γεωμετρία, ο Γκάους ήρθε αντιμέτωπος με την Θεωρία Αριθμών. Χρησιμοποιώντας τριγωνικούς αριθμούς, κατέληξε σε πολύ σημαντικά συμπεράσματα και σε αυτόν τον κλάδο.

Λίγα χρόνια μετά ο «Πρίγκιπας τον μαθηματικών», όπως ονομάστηκε αργότερα, έφτασε σε μια ακόμα απίθανη απόδειξη, αυτή τη φορά στο χώρο της Αλγεβρας. Χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα μιγαδικών αριθμών για πρώτη φορά, έφτασε στη διατύπωση του «θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας». Η προσπάθεια του χαρακτηρίστηκε ημιτελής, όμως χωρίς να περάσει πολύς καιρός φρόντισε να απαλείψει κάθε ανακριβές στοιχείο από το έργο του. Αλλωστε ένας τόσο τελειομανής και αφοσιωμένος μαθηματικός δεν θα μπορούσε να αφήσει την δουλειά του στην μέση.

Οσο περνούσε ο καιρός,τα μαθηματικά ενδιαφέροντα του Γκάους αυξάνονταν. Παρά τις πολλές του αποδείξεις, η δίψα του για γνώση ήταν ατέρμονη. Στις αρχές του 19ου αιώνα ήρθε η πρώτη του επαφή με την αστρονομία. Ο Ιταλός αστρονόμος Τζιουζέσε Πιάτσι ανακάλυψε τον αστεροειδή «Δήμητρα», αλλά μπόρεσε να την παρατηρήσει επί λίγες μόνο νύχτες. Για να την εντοπίσει ξανά χρειάστηκε την βοήθεια του Γερμανού μαθηματικού, ο οποίος εργάστηκε σκληρά για να προβλέψει  τις μελλοντικές της θέσεις στον ουρανό.

Με αυτόν τον τρόπο, ο Γκάους εξασφάλισε μια θέση καθηγητή αστρονομίας ενώ παράλληλα ήταν διευθυντής του αστεροσκοπείου του Γκέτινγκεν. Το μαθηματικό του ταξίδι όμως δεν είχε τελειώσει. Τα επόμενα χρόνια ασχολήθηκε και εξέλιξε σημαντικούς κλάδους των μαθηματικών όπως η στατιστική, η διαφορική γεωμετρία και η τοπολογία. Παράλληλα, εργάστηκε σε προβλήματα φυσικής και γεωδαισίας, έχοντας αξιοσημείωτες διακρίσεις.

Ο πιο «γνήσιος» μαθηματικός της Ιστορίας – Η ατελείωτη δίψα για γνώση

Μέχρι και τα τελευταία χρόνια της ζωής του, ο Γκάους ήταν ένας ακούραστος μαχητής των μαθηματικών. Το πάθος του για την επιστήμη δεν έσβησε ποτέ. Το μόνο που άλλαξε στα τελευταία χρόνια της ζωής του, χωρίς να είναι γνωστή η αιτία, είναι η πρόθεση του να δημοσιοποιεί τις αποδείξεις του. Αυτός είναι και ο λόγος που αρκετά από τα έργα του Γερμανού έγιναν γνωστά αρκετά χρόνια μετά τον θάνατο του.

Ακόμα και αν το έργο του Φρίντριχ Γκάους αποδεικνύει την τεράστια αξία του και την μοναδική του συνεισφορά στα μαθηματικά, δεν θα ήταν σωστό να θεωρηθεί ο καλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών. Αν προσπαθούσε κανείς να συγκρίνει δύο μαθηματικούς, θα ήταν σαν να συγκρίνει δύο ζωγράφους. Τα κριτήρια είναι καθαρά υποκειμενικά. Από την άλλη, το τεράστιο εύρος των γνώσεων του σε συνδυασμό με το αστείρευτο πάθος του για γνώση, τον καθιστούν τον πιο… «γνήσιο» μαθηματικό της Ιστορίας.

Πηγή: http://www.iefimerida.gr

Γκάους, ο πρίγκιπας των Μαθηματικών

Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855), ο επονομαζόμενος Πρίγκιπας των Μαθηματικών, ήταν παιδί-θαύμα. Μια μέρα του 1780, όταν ήταν τριών ετών, καθόταν στο σκαλί της εξώπορτα του πατρικού σπιτιού στο Μπράουνσβαϊκ κι έπαιζε. Μέσα στο σπίτι, ο πατέρας του, ο Γκέμπχαρντ, αρχιτεχνίτης λιθοξόος, πλήρωνε τα μεροκάματα των εργατών του.

«Λοιπόν», έλεγε σ’ έναν εργάτη, «έχουμε 34 και 29 και 19 πένες, το όλον… 76». Καμία αντίρρηση από τον εργάτη. Όση αριθμητική ήξερε το αφεντικό του, άλλη τόση (και λιγότερη) ήξερε κι ο ίδιος. Αλλά ο Καρλ είχε άλλη γνώμη. Σηκώθηκε όρθιος και είπε:

«Πατέρα, κάποιο λάθος έχει γίνει. Πρέπει να είναι 82 πένες».

Ο πατέρας του ξαφνιάστηκε (δυσάρεστα), αλλά ξανάκανε την πρόσθεση πιο προσεκτικά. 82 πένες. Είχε δίκιο το νήπιο! Ο Γκέμπχαρντ κοίταξε τον γιο του σκεπτικός. Δεν χαιρόταν με την εξυπνάδα του. Δεν ήταν καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος. Ποτέ δεν είναι καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος.

Πέντε χρόνια αργότερα, ο Καρλ πήγαινε στη δευτέρα δημοτικού. Ο δάσκαλός του, ο κύριος Μπίτνερ, είχε να κάνει ζάφτι περίπου 100 μαθητές (αγόρια, εννοείται) και συχνά-πυκνά, για να κρατάει την τάξη, έκανε χρήση τής πολύ πειστικής βέργας του.

Μια μέρα, δύσκολη χωρίς αμφιβολία, είπε να τους βάλει να κάνουν μια εργασία μπελαλίδικη, έτσι ώστε να βρει την ησυχία του.

«Να προσθέσετε όλους τους αριθμούς από το 1 ως το 100. Όποιος τελειώνει να φέρνει την πλάκα του στην έδρα και να τη βάζει ανάποδα», τους είπα και πήγε κι έκαστε σίγουρος ότι για τουλάχιστον μία ώρα είχε γλιτώσει από τους σατανάδες.

Δεν πέρασαν πέντε λεπτά και ο Καρλ σηκώθηκε, πήγε στην έδρα και ακούμπησε εκεί την πλάκα του ανάποδα. Ο κύριος Μπίτνερ συννέφιασε. Ήταν βέβαιος ότι ο μικρός τον δούλευε και του το είπε, αλλά ο Καρλ δήλωσε με σθένος ότι είχε λύσει την άσκηση σωστά. Τον άφησε να γυρίσει στη θέση του, σκεπτόμενος ότι όταν ερχόταν η ώρα θα μιλούσε η βέργα. Από περιέργεια, κρυφοκοίταξε το χαρτάκι με τον αποτέλεσμα που είχε στην τσέπη του: 5.050. Μετά γύρισε την πλάκα του Καρλ: 5.050! Μα πώς;! Και ούτε πράξεις στην πλάκα ούτε τίποτα, μόνο εκείνο το 5.050, σκέτο.

(Ο Γκάους γενικά δεν εξηγούσε λεπτομερώς στις αποδείξεις του το πώς πήγε από το Α στο Β. Ήταν εξαιρετικά λιτός στην εξήγηση των βημάτων. Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν ήταν περισσότερο αναλυτικός, έτσι ώστε να διευκολύνει τους αναγνώστες του, έλεγε: «Όταν οι χτίστες τελειώνουν έναν καθεδρικό ναό, κατεβάζουν τη σκαλωσιά για να φανερωθεί το κτίσμα σε όλο του το μεγαλείο».)

Στο σχόλασμα, ο δάσκαλος κράτησε τον Καρλ και τον ρώτησε:

-«Πώς τα κατάφερες και έκανες την πρόσθεση τόσο γρήγορα;»

-«Δεν έκανα πρόσθεση».

-«Αλλά;»

-«Σκέφτηκα λιγάκι ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και βρήκα κάτι ενδιαφέρον. Από τις άκρες προς τα μέσα, τα ζεύγη έδιναν το ίδιο άθροισμα: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 και τα λοιπά, μέχρι το 50+51=101. Είχα δηλαδή 50 ζεύγη με επιμέρους άθροισμα 101. Αντί να κάνω πρόσθεση, έκανα πολλαπλασιασμό: 50×101=5.050».

Οχτώ χρονών!

Ο κύριος Μπίτνερ τον άφησε να φύγει και αργότερα πήγε και βρήκε τον Γκέμπχαρντ Γκάους για να του πει ότι μεγάλωνε μια ιδιοφυία. Ο γερο-Γκάους δεν εντυπωσιάστηκε γιατί για κείνον μόνο η χειρωνακτική δουλειά είχε νόημα. Τελικά, όμως, ο Καρλ βρήκε τον δρόμο του και, αντί να γίνει λιθοξόος όπως ονειρευόταν ο πατέρας του, έγινε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών.

[Αυτές οι δύο ιστορίες αναφέρονται σχεδόν σε όλες τις βιογραφίες του Γκάους (ενδεικτικά μία ελληνική έκδοση: M.B.W. Tent, «Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών», μετάφραση: Στάμος Τσιτσώνης, Τραυλός 2007) και σε πολλές εκλαϊκευτικές ιστορίες των μαθηματικών. Δεν είναι βέβαιο ότι έχουν συμβεί στην πραγματικότητα, αλλά αυτό -ως γνωστόν- δεν έχει απολύτως καμία σημασία.]

του Γιώργου Θεοχάρη

* * *

*Το άρθρο δημοσιεύθηκε στο dimartblog.com

Πηγή: http://www.huffingtonpost.gr