Αρχείο

Τεστ: Ένα μαθηματικό πρόβλημα που έγινε viral αναζητά σωστή λύση. Θα τη δώσεις;

Νομίζετε πως είστε καλοί στα μαθηματικά; Ίσως θα αναθεωρήσετε σε λίγο. Ένα ιδιοφυές μαθηματικό πρόβλημα κυκλοφορεί τις τελευταίες ώρες στο διαδίκτυο και αναζητά δυνατούς λύτες.

Το τεστ που δημιουργήθηκε από το Wikr, έχει φέρει πονοκέφαλο σε πολλά μαθηματικά μυαλά και ζητά από τους χρήστες να «σκεφτούν έξω από το πλαίσιο» και να βρουν όχι μια άλλα δύο σωστές απαντήσεις.

Οι δημιουργοί του λένε πως ένα στα 1.000 άτομα καταφέρει να βρει την δεύτερη απάντηση. Εσείς μπορείτε;

4269F48000000578 4702868 image a 10 1500281496882

Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων υποδηλώνει ως σωστή απάντηση είτε το 40 ή το 96.
Ποια από τις δύο είναι σωστή; Και το 40 και το 96 μπορούν να είναι σωστές απαντήσεις, ανάλογα με το πώς το βλέπει κανείς.
• Για την απάντηση 40: προσθέτουμε το άθροισμα των αριθμών από την μία σειρά, στην επόμενη:
1 + 4 = 5
5 + 2 + 5 = 12
12 + 3 + 6 = 21
21 + 8 + 11 = 40
• Για την απάντηση 96: πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς κάθε σειράς και στη συνέχεια, προσθέτουμε το αποτέλεσμα με τον πρώτο αριθμό της ίδιας σειράς:
1 + (1 χ 4) = 5
2 + (2 x 5) = 12
3 + (3 χ 6) = 21
8 + (8 x 11) = 96

Πασκάλ (μονάδα μέτρησης)

Το Πασκάλ (Pascal, συντομoγραφία Pa) είναι η μονάδα μέτρησης της πίεσης στο SI. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Γάλλου φιλοσόφου, φυσικού και μαθηματικού Μπλεζ Πασκάλ. Ορίζεται ως ίση με την πίεση που προκαλεί δύναμη 1 Ν σε επιφάνεια ενός m². Είναι αρκετά μικρή μονάδα, και γι’ αυτό το λόγο στην πράξη χρησιμοποιούνται τα πολλαπλάσιά της, όπως τα kPa (1000 Pa) και τα hPa (100 Pa). Η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση, στην επιφάνεια της θάλασσας και σε θερμοκρασία 25oC, με 101325 Pa.

Αντιστοιχία με άλλες μονάδες

1 bar 100000 Pa
1 millibar 100 Pa
1 atm 101 325 Pa
1 mmHg (or Torr) 133.322 Pa
1 inHg 3386.833 Pa
1 psia 6894.76 Pa
1 cmH2O 98.0638 Pa

Πηγή: https://el.wikipedia.org

Τρίγωνο του Πασκάλ

Στα μαθηματικά, το τρίγωνο του Πασκάλ είναι μία τριγωνική γεωμετρική διάταξη των δυωνυμικών συντελεστών. Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μπλεζ Πασκάλ στο μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου, παρόλο που άλλοι μαθηματικοί το είχαν μελετήσει αιώνες πριν στην Ινδία, την Περσία, την Κίνα και την Ιταλία.

Οι σειρές στο τρίγωνο του Πασκάλ αριθμούνται ξεκινώντας από την γραμμή 0, και οι αριθμοί κάθε σειράς είναι συνήθως σχετικοί με τις διπλανές τους. Μια απλή κατασκευή του τριγώνου γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Στην σειρά 0 γράφεται μόνο ο αριθμός 1. Μετά, για την κατασκευή των στοιχείων των ακόλουθων σειρών προστίθεται ο αριθμός που βρίσκεται αμέσως από πάνω και αριστερά με τον αριθμό αμέσως από πάνω και δεξιά. Αν οποιοσδήποτε από τους αριθμούς δεξιά ή αριστερά δεν υπάρχει, υποκαθίσταται με μηδέν. Για παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός της πρώτης γραμμής είναι 0 + 1 = 1, ενώ οι αριθμοί 1 και 3 της τρίτης σειρά προτίθενται ώστε να δώσουν τον αριθμό 4 της τέταρτης σειράς.

Αυτή η κατασκευή είναι συγγενική με του δυωνυμικούς συντελεστές μέσω του κανόνα του Πασκάλ, σύμφωνα με τον οποίο αν:

( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}} {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}

τότε

( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}} {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}

για οποιοδήποτε μη αρνητικό ακέραιο n και οποιονδήποτε ακέραιο k μεταξύ 0 και n.[1]

Το τρίγωνο του Πασκάλ γενικεύεται και σε περισσότερες διαστάσεις. Η τρισδιάστατη εκδοχή αποκαλείται Πυραμίδα του Πασκάλ ή Τετράεδρο του Πασκάλ, ενώ η γενική εκδοχή αποκαλείται Simplex του Πασκάλ.

Πηγή: https://el.wikipedia.org

Μπλεζ Πασκάλ

Blaise pascal.jpg

Blaise pascal

Βιογραφία

Τα πρώτα χρόνια

Γεννήθηκε στο Κλερμόν-Φεράν το 1623. Ο Μπλεζ Πασκάλ ήταν έναν παιδί θαύμα. Η μητέρα του πέθανε όταν ήταν τριών μόλις χρονών, και λίγο αργότερα, ο πατέρας του Πασκάλ, Ετιέν Πασκάλ, ένας πλούσιος φοροεισπράκτορας και παθιασμένος ερασιτέχνης μαθηματικός, μετακόμισε από το Κλερμόν, στο Παρίσι, όπου προσωπικά επέβλεψε την κατ’ οίκον εκπαίδευση του υιού του. Ο Ετιέν είχε κάποιες παράξενες απόψεις. Αποφάσισε πως ο γιος του Μπλεζ, δεν έπρεπε να διδαχτεί μαθηματικά πριν από τα 15 του χρόνια, και γι’ αυτό τον λόγο απομάκρυνε κάθε είδους μαθηματικό εγχειρίδιο από το σπίτι στο οποίο διέμεναν. Όμως το μόνο που κατάφερε με όλη αυτή την κίνηση ήταν να εξάψει την περιέργεια του νεαρού Μπλεζ για το απαγορευμένο αντικείμενο. Έτσι ο Πασκάλ άρχισε να μελετά γεωμετρία σε ηλικία δώδεκα ετών. Ανακάλυψε μόνος του ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές γωνίες και όταν ο πατέρας του, Ετιέν, είδε τα επιτεύγματα του γιου του, εντυπωσιάστηκε τόσο ώστε να αποφασίσει να άρει την απόφασή του, και να επιτρέψει στο γιο τη μελέτη μαθηματικών κειμένων, αρχίζοντας με το κλασσικό έργο «Στοιχεία» του Ευκλείδη. Άρχισε επίσης να πηγαίνει, τον προφανώς χαρισματικό Μπλεζ στις συναντήσεις της Ακαδημίας του Μερσέν, μια από τις πολλές ημιεπίσημες ομάδες μαθηματικών και επιστημόνων στο Παρίσι, οι οποίες οδήγησαν στη ίδρυση της Βασιλικής Ακαδημίας Επιστημών το 1666. Στα 16 του χρόνια ανέπτυξε σε μια πραγματεία περί κωνικών τομών το θεώρημα που φέρει το όνομά του.

Οι εφευρέσεις και ανακαλύψεις

Από το 1641 και για περίπου 3 χρόνια εργάστηκε για την κατασκευή μιας αριθμομηχανής που μπορούσε να κάνει πρόσθεση και αφαίρεση που ονομάστηκε «Πασκαλίνα». Παρόλη την ενασχόλησή του, δεν πέτυχε ως επιχειρηματίας αριθμομηχανών: η μηχανή του δεν έκανε μεγάλες πωλήσεις και, τελικά, σταμάτησε να παράγεται. Το 1647 ανακάλυψε την Αρχή του Πασκάλ και τη χρήση τού βαρομέτρου για τη μέτρηση του υψομέτρου. Με την εργασία του Traité du triangle arithmétique, που δημοσιεύτηκε το 1654, έθεσε τις βάσεις για τη Συνδυαστική και το Λογισμό των Πιθανοτήτων. Επίσης μια από τις πιο γνωστές μαθηματικές μελέτες του είναι αυτό που ονομάζουμε «τρίγωνο του Πασκάλ» ή απλούστερα «αριθμητικό τρίγωνο». Το εν ΄λόγω τρίγωνο σχηματίζεται ως εξής: Αρχικά γράφουμε τον αριθμό 1. Κάτω από τον αριθμό 1, δεξιά και αριστερά του, τοποθετούμε πάλι τον αριθμό 1. Στην τρίτη σειρά, τοποθετούμε στα άκρα τον αριθμό 1 αυξάνοντας την απόσταση όμως μεταξύ των αριθμών. Στο μέσο τους γράφουμε τον αριθμό που προκύπτει από το άθροισμα των παρακείμενων αριθμών της προηγούμενης σειράς, δηλαδή 1+1=2. Με τον ίδιο τρόπο συμπληρώνουμε και τις επόμενες σειρές. Από μία σύγχρονη οπτική, το Τρίγωνο του Πασκάλ φαίνεται να είναι μαθηματικώς απλό και το ίδιο ισχύει και για πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες που όπως ανακάλυψε ο Πασκάλ συσχετίζουν τους αριθμούς του τριγώνου. Η σπουδαιότητα του τριγώνου όμως διαφαίνεται και αλλού: Εντούτοις αποδείχτηκε ότι το τρίγωνο είναι ιδιαίτερα σημαντικό στη στοιχειώδη άλγεβρα και στη θεωρία πιθανοτήτων, καθώς τα στοιχεία κάθε γραμμής δίνουν τους περίφημους δυωνυμικούς συντελεστές οι οποίοι εμφανίζονται στο ανάπτυγμα της έκφρασης (a+b)^n. Αξίζει να προσθέσουμε πως αν και ο Πασκάλ ήταν πολύ έξυπνος, δεν απέκτησε ποτέ ακαδημαϊκή καριέρα σε κάποιο πανεπιστήμιο.

Θεολογική και φιλοσοφική ενασχόληση

Στα 20 του, ο Πασκάλ αρρώστησε και ουσιαστικά ποτέ δεν ανέκτησε τις δυνάμεις του. Στα τελευταία του χρόνια, φαίνεται να μειώθηκε το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά και εστίασε περισσότερο την προσοχή του σε συγγραφή θρησκευτικών συγγραμμάτων. Το 1654 είχε ο Πασκάλ την εμπειρία ενός μυστικιστικού οράματος, οπότε αποσύρθηκε στο μοναστήρι Port Royal και αφοσιώθηκε, παράλληλα με τις μαθηματικές εργασίες του, σε θεολογικές και φιλοσοφικές μελέτες. Το σύγγραμμά του «Επαρχιακές επιστολές για την ηθική διδασκαλία των Ιησουιτών» (1656-57), με το οποίο παίρνει θέση στην αντιδικία μεταξύ της κορυφής της καθολικής εκκλησίας και του θρησκευτικού κινήματος του Γιανσενισμού, αποτελεί λογοτεχνικό αποκορύφωμα της γαλλικής πρόζας εκείνης της εποχής. Το έργο του για την υποστήριξη του Χριστιανισμού, Pensées, στο οποίο ο Πασκάλ εργαζόταν από το 1654 και με το οποίο προσπάθησε να μεταφέρει τους νόμους της Λογικής στη χριστιανική θρησκεία, έμεινε ανολοκλήρωτο, πιθανόν λόγω της σταδιακά επιδεινούμενης υγείας τού μεγάλου φιλοσόφου. Άλλοι βέβαια εκτιμούν (Μπέρτραντ Ράσελ) ότι το εγχείρημα αυτό απέτυχε λόγω των αδιεξόδων που συνάντησε ο Πασκάλ στην επιχειρηματολογία του.

Ο Πασκάλ εναντιώθηκε στη δυϊστική αντίληψη του Καρτέσιου για την επιστήμη και τον κόσμο και θεωρούσε ότι η άπειρη απόσταση μεταξύ θεού και ανθρώπου μπορεί να ξεπεραστεί μόνο με θεϊκή χάρη.

Πέθανε στο Παρίσι το 1662.

Προς τιμήν του δόθηκε το όνομά του στη μονάδα μέτρησης της πίεσης στο SI (1 Pa).

Έργα του Μπλεζ Πασκάλ στα Ελληνικά

  • Pensées
    • Σκέψεις. Μετάφρ. Π.Αντωνόπουλος. «Αναγνωστίδης», χχ.
    • Στοχασμοί. Προλεγόμενα-Μετάφρ.-Σχόλια Νίκος Ματσούκας. «Πουρναράς», Θεσσαλονίκη 1999² (1η έκδοση, 1986)
    • Σκέψεις. Μετάφρ. Κωστής Παπαγιώργης, Επιμ. Δημήτρης Αρμάος. 2η έκδοση, «Καστανιώτης», Αθήνα 2008 (2000¹)
  • Η τέχνη της πειθούς. Μετάφρ. Δημήτρης Κουσουρής, Εισαγωγή Τεύκρος Μιχαηλίδης. εκδ.»Ροές», Αθήνα 2005.
  • Τα πάθη του έρωτα. Μετάφρ. Αλέξανδρος Βέλιος. 2η έκδοση,εκδ. «Ροές», Αθήνα 2007 (1998¹)
  • Η αθλιότητα του ανθρώπου και άλλες σκέψεις. Μετάφρ. Γιούλη Τσίρου, εκδ. «Το Ποντίκι», Αθ. 2009

Βιβλιογραφία

  • Δελλής, Ιωάννης, «Επιδράσεις του αρχαίου σκεπτικισμού στις γνωσιολογικές αντιλήψεις του B. Pascal». Επετηρίς της Εταιρείας Ηλειακών Σπουδών. Εν Αθήναις 5 (1987-1988), 61-71.
  • Βώκος, Γεράσιμος, Η γραφομηχανή. Εισαγωγή στις Σκέψεις του Πασκάλ, εκδ. «Νήσος», Αθήνα, 1997.
  • Ξηρογιάννη, Παναγιώτα, Blaise Pascal: Η έννοια της αγωνίας, εκδ.»Έννοια», Αθήνα, 2006.
  • Rogers, Ben, Πασκάλ. Εγκώμιο στη ματαιοδοξία. Μετάφρ. Ιφιγένεια Σταροπούλου, εκδ.»Ενάλιος», Αθ. 2006.
  • Καραγιάννης, Γεώργιος Στεφ., «Σκέψη καὶ πίστη . Παρατηρήσεις καὶ σκέψεις ἐπάνω στὴ ρήση τοῦ Pascal: “Le Pyrrhonisme sert à la réligion”» , Φιλοσοφία καὶ Παιδεία, 9-10 (1997), σσ. 34-36
  • Μπουρντιέ, Πιερ, Πασκαλιανοί διαλογισμοί, μτφρ. Έφη Γιαννοπούλου, εκδ. Πατάκη, 2016

Πηγή: https://el.wikipedia.org/

Φτιάξτε το δικό σας τάγκραμ

Το τάγκραμ χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στην Κίνα πριν από χιλιάδες χρόνια. Απο­τελείται από ένα τετράγωνο που το κόβουμε σε επτά σχήματα: πέντε τρίγωνα (δύο με­γάλα, δύο μικρά, ένα μεσαίο), ένα μικρό τετράγωνο και ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο.

Με αυτές τις επιφάνειες μπορείτε να σχηματίσετε όσα ισοεμβαδικά σχήματα και εικόνες επιθυμείτε!

Πάρτε το ψαλίδι σας, εκτυπώστε το τάγκραμ που σας ταιριάζει και ξεκινήστε:

 Το μόνο όριο είναι η φαντασία σας! 

ΕΙΚΟΝΕΣ: nanareyseducacao.blogspot.gr (1), soyou.wordpress.com (2,4),
activityvillage.co.uk (3), blog.walls360.com (5), http://www.rittel-verlag.de (6)

Πηγή: http://podilato98.blogspot.gr